Curva tautocrônica

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Quatro pontos deslizam sobre uma ciclóide, de diferentes posições, porém alcançam todas o vértice (ponto de mínimo) ao mesmo tempo. As setas azuis mostram a aceleração dos pontos ao longo da curva. Acima está o diagrama posição-tempo.

Uma tautocrônica ou Curva isocrônica é a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção em gravidade uniforme até seu ponto de mínimo é independente de seu ponto de partida. A curva dada é uma ciclóide, e o tempo é igual a π vezes a raiz quadrada do raio sobre a aceleração da gravidade.

Índice

O Problema Tautocrônico

O Problema Tautocrônico, ou melhor dizendo, a tentativa de identificar essa curva, foi resolvido por Christiaan Huygens em 1659. Ele provou geometricamente em seu livro Horologium oscillatorium, originalmente publicado em 1673, que essa curva se tratava de uma ciclóide.

"Numa ciclóide cujo eixo se encontra na perpendicular cujo vértice se encontra em um ponto de mínimmo, os tempos de descida, nos quais os corpos chegam ao ponto mais baixo após partirem de um ponto qualquer da ciclóide, são iguais uns aos outros..."^[1]

Esta solução foi utilizada mais tarde para resolver o problema da Curva Braquistocrônica. Jakob Bernoulli resolveu o problema usando cálculo apresentando o resultado em seu projeto (Acta Eruditorum, 1690) onde se viu pela primeira vez a publicação da expressão integral.
O problema da tautocronia foi melhor estudado quando se percebeu que um pêndulo, que descreve uma trajetória de movimento circular, não era isocrônico e portanto esse mesmo pêndulo manteria diferentes marcações de tempo de acordo com a distância do balanço pendular. A fim de determinar o percurso correto para a marcação exata do tempo, Christiaan Huygens procurou criar relógio de pêndulo que usassem uma corrente para suspender o bob and curb cheeks próximos ao cimo da corrente para alterer o padrão da curva tautócrona. Estas tentativas mostraram-se inúteis por várias razões. Em primeiro lugar porque a corrente possui fricção, alterando a contagem de tempo; além disso existem uma quantidade significativa de erros que que se sobrepõem a quaisquer melhorias teóricas que se fizesse sobre o estudo do movimento na curva. E finalmente, o "erro circular" de um pêndulo diminui a medida que seu balanço também diminui, o que pelo escape do relógio pode reduzir grandemente essa fonte de inacuracidade.
Mais tarde, matemáticos como Joseph Louis Lagrange e Leonhard Euler procuraram por uma solução analítica do problema.

FONTE:http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_tautocr%C3%B4nica

Introdução

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) – Matemático, Astrônomo e Físico é hoje considerado um dos maiores génio da história da ciência. O mesmo falava que tinha aprendido a contar bem antes de falar. Sua primeira manifestação foi aos três anos idade que mostrou ao pai que agrupamento tinha que ser de quatro ao invés de cinco. O que irritou muito o seu pai pela descoberta de seu rebento. Por volta de seus 10 anos de idade o seu austero professor de aritmética mandou somar todos os números de 1 a 100, e encontrou 5.050. Alguns falam que foi 1 a 100. Sendo o resultado 5050. Ao ser interpelado pelo seu professor falou que: 1+100= 101, 2+ 99= 101, 3+98= 101 e assim por diante. Daí se conclui que: seria somente 50 x101.

O que mais impressionou o rigoroso professor foi rapidez com o jovem estudante descobriu o resultado. E ao verificar que o seu raciocínio estava correto. E foi desta maneira aparentemente simples, Gauss tinha encontrado a propriedade da simetria das progressões aritméticas. E deu-lhe o melhor livro escolar de aritmética, especialmente encomendado por Hamburg.

Iniciar a aula falando sobre GAUSS e a sua contribuição a matemática e ao mundo moderno. Após essa pequena fala postar em sala de aula o vídeo abaixo sobre a vida e obra desse famoso matemático.

Objetivos

- Ambientar aos educandos que o início de um conteúdo a ser estudado sempre tem uma origem que deve ser falado para que a mesma não fique solta. Pois, tudo tem a sua origem, o seu porquê, quando.

- Mostrar que nada se originou por acaso e tudo possui a sua aplicabilidade.

http://youtu.be/aTSNmKDn7TU-

Posteriormente Gaus chegou à fórmula abaixo.

S_n = n.(a₁ + a_n) / 2

Desenvolvimento

Colocar o vídeo abaixo que os alunos vejam onde se aplicar uma sequência.

http://youtu.be/kaBMJIYuy5M

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números. Reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A= (3, 5, 7,9, 11..., 35) é sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo temo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Classificação:

a) Crescente: se a_{2 >} a₁se somente r>0

Ex: (2,4,6,8,10)

b) Decrescente: se a_2< a_1, se somente se, r<0

Ex : (10,8,6,4,2)

c) Constante: se a_2
= a_1,se somente se , r=0

Ex: (10,10,10,10,10)

Aplicações no dia a dia.

Na escola da Professora Marisa teve uma confraternização de final de ano. No local que foi realizado a confraternização todas as mesas eram quadradas, sendo dispostas conforme o esquema abaixo. Sabendo-se que os todos lugares foram utilizados pelos presentes no evento Calcule a soma dessa sequência conforme o gráfico abaixo.

a_{1 = 4}

a_{2 = 6}

a_{3 = 8}

r= a_{2 -}a₁

_{r= 6-4 =2}

S = [ ( 4+ 20) *9]/2

S= 24*9 /2

S= A soma dessa sequência é 108

Exercícios interessantes. (Trabalhe com os alunos em duplas)

1)(UFBA) – Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x .
Resp: 60

2) (Enem-2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm. Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:

a) 144

b) 180

c) 210

•d) 225

e)240

3) Em um certo telhado, as telhas dispõem-se de modo que cada fila tem 2 telhas a mais que a anterior. Um telhadista está calculando quantas telhas precisa para as 4 faces do telhado. Ajude-o a calcular o número de telhas, sabendo que em cada face, de cima pra baixo, há 4 telhas na primeira fileira e 38 na última.

R.1512 telhas com 4 faces.

4)Um terreno foi vendido num plano de parcelas decrescentes mensais, de forma que o primeiro pagamento seja R$700,00, é feito no final do primeiro mês . o segundo no final do segundo mês R$ 684,00 , no terceiro mês R$ 668,00 e assim por diante. Qual foi o valor total pago pelo terreno?

R: o valor total do terreno foi R$ 13.000,00

Recursos Utilizados:

a)Canetas coloridas, quadro branco

b)Datashow e notebook

c)Programa em ReC do Curso de Especialização de Novas Tecnologias – UFF - 2012

BIBLIOGRAFIA

1)BARROSO, Juliana Matsubara , Conexões com Matemática- Ed. Moderna – Vol. 1 – São Paulo – 1ª edição - ano 2010

2)DANTE, Luiz Roberto, Contexto e Aplicações – Ed. Ática- Vol. 1, – São Paulo –ano 2011.

3) IEZZI, Gelson,DOLCE,Oswlado, DEGENSZAJAN, David, PÉRIGO, Roberto, ALMEIDA, Nize –Matemática – Ciência e Aplicações, Editora Saraiva,Vol, 1 ,6ªed., ano 2 2010.

4)RIBEIRO, Jackson Ribeiro , Ciência, Linguagem e Tecnologia, Matemática Ensino Médio ,editora Scippione , vol. 1.1ªed.2011

4)SMOLE, Kátia Stocco e DINIZ, Maria Ignez , Matemática Ensino Médio, vol. 1 . 6ªedição – ano 2010

WEBSIDE

1) http://youtu.be/aTSNmKDn7TU- acessado em 18/12/12

2) http://youtu.be/kaBMJIYuy5M - acessado em 19/12/12

3)http://www.algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html- acessado em 19/12/12.

Curiosidades da Matemática

quarta-feira, 23 de janeiro de 2013