Curva tautocrônica

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Ir para: navegação, pesquisa

Este artigo ou se(c)ção cita fontes fiáveis e independentes, mas elas não cobrem todo o texto (desde Novembro de 2011). Por favor, melhore este artigo providenciando mais fontes fiáveis e independentes, inserindo-as em notas de rodapé ou no corpo do texto, nos locais indicados. Encontre fontes: Google — notícias, livros, acadêmico — Scirus — Bing. Veja como referenciar e citar as fontes.

Quatro pontos deslizam sobre uma ciclóide, de diferentes posições, porém alcançam todas o vértice (ponto de mínimo) ao mesmo tempo. As setas azuis mostram a aceleração dos pontos ao longo da curva. Acima está o diagrama posição-tempo.

Uma tautocrônica ou Curva isocrônica é a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção em gravidade uniforme até seu ponto de mínimo é independente de seu ponto de partida. A curva dada é uma ciclóide, e o tempo é igual a π vezes a raiz quadrada do raio sobre a aceleração da gravidade.

Índice 1 O Problema Tautocrônico 2 Solução de Lagrange 3 Resolvendo a "Gravidade Virtual" 4 Solução de Abel 5 Referências 6 Bibliografia

O Problema Tautocrônico

O Problema Tautocrônico, ou melhor dizendo, a tentativa de identificar essa curva, foi resolvido por Christiaan Huygens em 1659. Ele provou geometricamente em seu livro Horologium oscillatorium, originalmente publicado em 1673, que essa curva se tratava de uma ciclóide.

"Numa ciclóide cujo eixo se encontra na perpendicular cujo vértice se encontra em um ponto de mínimmo, os tempos de descida, nos quais os corpos chegam ao ponto mais baixo após partirem de um ponto qualquer da ciclóide, são iguais uns aos outros..."^[1]

Esta solução foi utilizada mais tarde para resolver o problema da Curva Braquistocrônica. Jakob Bernoulli resolveu o problema usando cálculo apresentando o resultado em seu projeto (Acta Eruditorum, 1690) onde se viu pela primeira vez a publicação da expressão integral.
O problema da tautocronia foi melhor estudado quando se percebeu que um pêndulo, que descreve uma trajetória de movimento circular, não era isocrônico e portanto esse mesmo pêndulo manteria diferentes marcações de tempo de acordo com a distância do balanço pendular. A fim de determinar o percurso correto para a marcação exata do tempo, Christiaan Huygens procurou criar relógio de pêndulo que usassem uma corrente para suspender o bob and curb cheeks próximos ao cimo da corrente para alterer o padrão da curva tautócrona. Estas tentativas mostraram-se inúteis por várias razões. Em primeiro lugar porque a corrente possui fricção, alterando a contagem de tempo; além disso existem uma quantidade significativa de erros que que se sobrepõem a quaisquer melhorias teóricas que se fizesse sobre o estudo do movimento na curva. E finalmente, o "erro circular" de um pêndulo diminui a medida que seu balanço também diminui, o que pelo escape do relógio pode reduzir grandemente essa fonte de inacuracidade.
Mais tarde, matemáticos como Joseph Louis Lagrange e Leonhard Euler procuraram por uma solução analítica do problema.

FONTE:http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_tautocr%C3%B4nica