semelhança de triângulos

Ol pessoal vamos começar estudar a  semelhança de triângulos

http://youtu.be/WMTZc44DcW4

Assista o vídeo e depois tiraremos as devidas dúvidas

Curva tautocrônica

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

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Quatro pontos deslizam sobre uma ciclóide, de diferentes posições, porém alcançam todas o vértice (ponto de mínimo) ao mesmo tempo. As setas azuis mostram a aceleração dos pontos ao longo da curva. Acima está o diagrama posição-tempo.

Uma tautocrônica ou Curva isocrônica é a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção em gravidade uniforme até seu ponto de mínimo é independente de seu ponto de partida. A curva dada é uma ciclóide, e o tempo é igual a π vezes a raiz quadrada do raio sobre a aceleração da gravidade.

Índice 1 O Problema Tautocrônico 2 Solução de Lagrange 3 Resolvendo a "Gravidade Virtual" 4 Solução de Abel 5 Referências 6 Bibliografia

O Problema Tautocrônico

O Problema Tautocrônico, ou melhor dizendo, a tentativa de identificar essa curva, foi resolvido por Christiaan Huygens em 1659. Ele provou geometricamente em seu livro Horologium oscillatorium, originalmente publicado em 1673, que essa curva se tratava de uma ciclóide.

"Numa ciclóide cujo eixo se encontra na perpendicular cujo vértice se encontra em um ponto de mínimmo, os tempos de descida, nos quais os corpos chegam ao ponto mais baixo após partirem de um ponto qualquer da ciclóide, são iguais uns aos outros..."^[1]

Esta solução foi utilizada mais tarde para resolver o problema da Curva Braquistocrônica. Jakob Bernoulli resolveu o problema usando cálculo apresentando o resultado em seu projeto (Acta Eruditorum, 1690) onde se viu pela primeira vez a publicação da expressão integral.
O problema da tautocronia foi melhor estudado quando se percebeu que um pêndulo, que descreve uma trajetória de movimento circular, não era isocrônico e portanto esse mesmo pêndulo manteria diferentes marcações de tempo de acordo com a distância do balanço pendular. A fim de determinar o percurso correto para a marcação exata do tempo, Christiaan Huygens procurou criar relógio de pêndulo que usassem uma corrente para suspender o bob and curb cheeks próximos ao cimo da corrente para alterer o padrão da curva tautócrona. Estas tentativas mostraram-se inúteis por várias razões. Em primeiro lugar porque a corrente possui fricção, alterando a contagem de tempo; além disso existem uma quantidade significativa de erros que que se sobrepõem a quaisquer melhorias teóricas que se fizesse sobre o estudo do movimento na curva. E finalmente, o "erro circular" de um pêndulo diminui a medida que seu balanço também diminui, o que pelo escape do relógio pode reduzir grandemente essa fonte de inacuracidade.
Mais tarde, matemáticos como Joseph Louis Lagrange e Leonhard Euler procuraram por uma solução analítica do problema.

FONTE:http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_tautocr%C3%B4nica

A História de Gauss

          Introdução

     

 Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) – Matemático,  Astrônomo e Físico é hoje considerado um dos maiores génio da história da ciência. O mesmo falava que tinha aprendido a contar bem antes de falar. Sua primeira manifestação foi aos três anos idade que mostrou ao pai que agrupamento tinha que ser de quatro ao invés de cinco. O que irritou muito o seu pai pela descoberta de seu rebento. Por volta de seus 10 anos de idade o seu austero professor de aritmética mandou somar todos os números de 1 a 100, e encontrou 5.050. Alguns falam que foi 1  a 100. Sendo o resultado 5050. Ao ser interpelado pelo seu professor falou que: 1+100= 101, 2+ 99= 101, 3+98= 101 e assim por diante. Daí se conclui que: seria somente 50 x101.

O que mais impressionou o rigoroso professor foi rapidez com o jovem estudante descobriu o resultado. E ao verificar que o seu raciocínio estava correto.  E foi desta maneira aparentemente simples, Gauss tinha encontrado a propriedade da simetria das progressões aritméticas. E deu-lhe o melhor livro escolar de aritmética, especialmente encomendado por Hamburg.

Iniciar a aula falando sobre GAUSS e a sua contribuição a matemática e ao mundo moderno. Após essa pequena fala postar em sala de aula o vídeo abaixo sobre a vida e obra desse famoso matemático.

Objetivos

- Ambientar aos educandos que o início de um conteúdo a ser estudado sempre tem uma origem que deve ser falado para que a mesma não fique solta. Pois, tudo tem a sua origem, o seu porquê,  quando.

- Mostrar que nada se originou por acaso e tudo possui a sua aplicabilidade.

http://youtu.be/aTSNmKDn7TU-

Posteriormente Gaus chegou à fórmula abaixo.

S_n = n.(a₁ + a_n) / 2

Desenvolvimento

Colocar o vídeo abaixo  que os alunos vejam onde se aplicar uma sequência.

http://youtu.be/kaBMJIYuy5M

 Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números. Reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A= (3, 5, 7,9, 11..., 35) é sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo temo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Classificação:

a)      Crescente: se a_{2 >}  a₁ se somente r>0

Ex: (2,4,6,8,10)

b)      Decrescente: se a_2<  a_1, se somente  se, r<0

Ex : (10,8,6,4,2)

c)      Constante: se  a_{2 =}  a_1,  se somente se , r=0

Ex: (10,10,10,10,10)

Aplicações no dia a dia.

Na escola da Professora Marisa teve uma confraternização de final de ano. No local que foi realizado a confraternização todas as mesas eram quadradas, sendo dispostas conforme o esquema abaixo. Sabendo-se que os todos lugares foram utilizados pelos presentes no evento Calcule a soma dessa sequência conforme o gráfico abaixo.

a_{1 = 4}

a_{2 = 6}

a_{3 = 8}

r= a_{2 -}  a₁

_{r= 6-4 =2}

S = [ ( 4+ 20) *9]/2

S= 24*9 /2

S= A soma dessa sequência é 108

Exercícios interessantes. (Trabalhe com os alunos em duplas)

1)(UFBA) – Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x .
Resp: 60

2) (Enem-2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm. Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:

a) 144

b) 180

c) 210

•d) 225

e)240

3) Em um certo telhado, as telhas dispõem-se de modo que cada fila tem 2 telhas a mais que a anterior. Um telhadista está calculando quantas telhas precisa para as 4 faces do telhado. Ajude-o a calcular o número de telhas, sabendo que em cada face, de cima pra baixo, há 4 telhas na primeira fileira e 38 na última.

R.1512 telhas com 4 faces.

4)Um terreno foi vendido num plano de parcelas decrescentes mensais, de forma que o primeiro pagamento seja R$700,00, é feito no final do primeiro mês . o segundo no final do segundo mês R$ 684,00 , no terceiro mês R$ 668,00 e assim por diante. Qual foi o valor total pago pelo terreno?

R: o valor total do terreno foi R$ 13.000,00

 

Recursos Utilizados:

a)Canetas coloridas, quadro branco

b)Datashow  e notebook

 c)Programa em ReC  do Curso de Especialização de Novas Tecnologias – UFF -  2012

BIBLIOGRAFIA

1)BARROSO, Juliana Matsubara , Conexões com Matemática- Ed. Moderna – Vol. 1 – São Paulo  –  1ª edição - ano 2010

2)DANTE, Luiz Roberto, Contexto e Aplicações – Ed. Ática- Vol. 1,  – São Paulo –ano 2011.

3) IEZZI, Gelson,DOLCE,Oswlado, DEGENSZAJAN, David, PÉRIGO, Roberto, ALMEIDA, Nize –Matemática – Ciência e Aplicações, Editora Saraiva,Vol, 1 ,6ªed., ano 2 2010.

4)RIBEIRO, Jackson Ribeiro , Ciência, Linguagem e Tecnologia, Matemática Ensino Médio ,editora Scippione , vol. 1.1ªed.2011

4)SMOLE, Kátia Stocco e DINIZ, Maria Ignez , Matemática Ensino Médio, vol. 1 . 6ªedição – ano 2010

           

WEBSIDE

1)      http://youtu.be/aTSNmKDn7TU- acessado em 18/12/12

2)      http://youtu.be/kaBMJIYuy5M - acessado em 19/12/12

       3)http://www.algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html-     acessado em 19/12/12.

PLANEJAMENTO APRENDIZAGEM

Informática Educativa I: Planejamento Projeto de Aprendizagem

Título: A MATEMÁTICA INTERAGINDO COM A BIOLOGIA

Tutor: Arthur Vicente

Nome do Aluno: Zaily Madeiros

Polo:  Campo Grande

1. Disciplina e anos envolvidos: Matemática – 2ºano do Ensino Médio

2. Tema central: * Geometria

3. Temas de apoio: A Construção dos Alvéolos das Abelhas

4. Justificativa: •O que leva o aluno a relacionar a matemática com as outras disciplinas e o mundo ao redor.

5. Objetivos gerais e específicos: • Intuir ao educando que a Geometria encontra-se presente em todas as formas do universo. • Demonstrar ao educando que a Geometria faz uma perfeita interação com a arte, com a construção civil. •Induzir ao educando que o mesmo pode construir ao seu próprio conhecimento com auxílio da geometria dinâmica e/ou com materiais concretos.

6. Enfoque pedagógico: Iniciando o conteúdo do tema central será postado um vídeo a respeito de uma comunidade de abelhas e como as mesmas constituem os seus alvéolos geometricamente. E organização da sociedade de uma colmeia. Posteriormente passarei slides referentes às construções de mosaicos hexagonais de painéis de artistas famosos. Em seguida será mostrado o software R e C. Começando ai a construção de figura no R e C mostrando ao educando como é útil e agradável trabalhar no mesmo.

7. Recursos tecnológicos: Sala de Vídeo, slides referentes ás de mosaicos hexagonais de painéis de artistas famosos. Em seguida será mostrado o software R e C. Iniciado a construção da figura geométrica no mesmo demonstrando o qual é prazerosa.

8. Etapas e suas estratégias de realização: 1ª Etapa: Sala de Vídeo Duração prevista: 1  aula •História da Matemática e a origem do conteúdo que será explorado •Exposição dos slides referentes aos mosaicos hexagonais. •Registro dos assuntos estudados em duplas 2ªEtapa: Pesquisa na Internet sobre o assunto que será estudado -2 aulas Alunos agrupados em duplas.   – 1 aula Alunos agrupados em grupos de 4 participantes - 1 aula Para discutir a pesquisa encontrada sobre o assunto. Fazendo ao final da mesma um seminário na troca de informação sendo transcrito em roteiro. 3ª Etapa: Sala de Informática e apresentação do software R e C. Mostrando-lhes com se manuseia. Alunos agrupados em duplas – 2 aulas. Primeiro fazendo um feedback referente a ângulo central, ângulo inscrito e ângulo circunscrito. 4º Etapa: Sala de Informática agora com a construção dos hexágonos. 2 aulas.  Mostrando-lhes os tutoriais com as atividades que serão realizadas nesta etapa. Alunos agrupados em duplas. •Construção de Hexágono inscrito numa círculo com raio dado inicial. •Construção da área do hexágono na calculadora e no R e C 5ªEtapa: Sala de Informática agora com a construção dos hexágonos. 2 aulas •Construção do Apótema do hexágono. •Construção dos Mosaicos nos hexágonos

9. Definição de papéis: • O educador desenvolverá o papel de tutor perante os seus educandos instigando-os a pesquisa. Tornando-os  construtores de seus próprios conhecimentos.

10. Sites e bibliografia de apoio: •SILVA, Lenir Morgado da, SEYSSEL, Eliane ;SIMÕES , Luiz Fábio, Série da Solução Matemática –Projeto Educação para o século XXI, ed. Escala Educacional. •http://www.uff.br/sintoniamatematica/matematicaenatureza/matematicaenatureza-html/audio-abelhas-br.html acessado em 18/10/12 http://cienciastododia.blogspot.com.br/2008/07/abelhas-sabem-matemtica.html acessado em 19/10/12 http://www.slideboom.com/presentations/382075/GEOMETRIA-DOS-MOSAICOS-acessado em 19/10/12 •http://www.slideboom.com/presentations/382075/GEOMETRIA-DOS-MOSAICOS  acessado em 19/10/12

11. Coleta de dados: Pesquisa no site www.google.com.br  referente a hexágonos e suas construções, pesquisa  em livros.

12 .Seleção de Material. Data show, computador, som, quadro branco, canetas coloridas , material digitado.

13. Programação visual: •Laboratório de Informática já baixado o R e C programado em rede. •Sala de Vídeo  postando os vídeos e os slides sobre assunto.

14. Meios para a execução: •Tutoriais do  R e C – para construção dos hexágonos. • Montagem de Mosaicos hexagonais interagindo com o(a) professor(a) de Artes.

15. Avaliação: Maquete confecção de uma colmeia com pesquisa sobre os tipos de méis.

16. Cronograma: 1ªEtapa - 50minutos 2ªEtapa - 100minutos 3ªEtapa - 100 minutos 4ªEtapa - 100 minutos 5ªEtapa - 100 minutos

CURIOSIDADES DA MATEMÁTICA

INFORMÁTICA EDUCATIVA I

Até na natureza encontramos formas geométricas

1. Disciplina e anos envolvidos: Matemática – 2ºano do Ensino Médio

2. Tema central: * Geometria

3. Temas de apoio: A Construção dos Alvéolos das Abelhas http://manthanos.blogspot.com.br/2011/02/porque-afinal-cabe-mais-mel-no-hexagono_01.html http://cdn6.fotosearch.com/thumb/CSP/CSP270/k2706688.jp

4. Justificativa: •O que leva o aluno a relacionar a matemática com as outras disciplinas e o mundo ao redor.

5. Objetivos gerais e específicos: • Intuir ao educando que a Geometria encontra-se presente em todas as formas do universo. • Demonstrar ao educando que a Geometria faz uma perfeita interação com a arte, com a construção civil. •Induzir ao educando que o mesmo pode construir ao seu próprio conhecimento com auxílio da geometria dinâmica e/ou com materiais concretos.

6. Enfoque pedagógico: Iniciando o conteúdo do tema central será postado um vídeo a respeito de uma comunidade de abelhas e como as mesmas constituem os seus alvéolos geometricamente. E organização da sociedade de uma colmeia. Posteriormente passarei slides referentes às construções de mosaicos hexagonais de painéis de artistas famosos. Em seguida será mostrado o software R e C. Começando ai a construção de figura no R e C mostrando ao educando como é útil e agradável trabalhar no mesmo. http://youtu.be/9rMjUZKLgy4 http://youtu.be/JuAVOEL0yt

7. Recursos tecnológicos: Sala de Vídeo, slides referentes ás de mosaicos hexagonais de painéis de artistas famosos. Em seguida será mostrado o software R e C. Iniciado a construção da figura geométrica no mesmo demonstrando o qual é prazerosa.

8. Etapas e suas estratégias de realização: 1ª Etapa: Sala de Vídeo Duração prevista: 1  aula •História da Matemática e a origem do conteúdo que será explorado •Exposição dos slides referentes aos mosaicos hexagonais. •Registro dos assuntos estudados em duplas 2ªEtapa: Pesquisa na Internet sobre o assunto que será estudado -2 aulas Alunos agrupados em duplas.   – 1 aula Alunos agrupados em grupos de 4 participantes - 1 aula Para discutir a pesquisa encontrada sobre o assunto. Fazendo ao final da mesma um seminário na troca de informação sendo transcrito em roteiro. 3ª Etapa: Sala de Informática e apresentação do software R e C. Mostrando-lhes com se manuseia. Alunos agrupados em duplas – 2 aulas. Primeiro fazendo um feedback referente a ângulo central, ângulo inscrito e ângulo circunscrito. 4º Etapa: Sala de Informática agora com a construção dos hexágonos. 2 aulas.  Mostrando-lhes os tutoriais com as atividades que serão realizadas nesta etapa. Alunos agrupados em duplas. •Construção de Hexágono inscrito numa círculo com raio dado inicial. •Construção da área do hexágono na calculadora e no R e C 5ªEtapa: Sala de Informática agora com a construção dos hexágonos. 2 aulas  Tutorial da construção de um hexágono num círculo de raio dado.  1ª construir com a ferramenta segmento de reta sobre o eixo do plano cartesiano com 2,5 u.d. 2ª Construir com a ferramenta círculo com raio dado construir um círculo 3ª Construir com a ferramenta ângulo com amplitude fixa ângulos centrais com 60º. Sendo em torno de seis ângulos centrais.   4ª. Com a ferramenta segmento de reta ligue os pontos e nomeio em A, B ,C,D, Ee F   5ª Com a ferramenta polígono clique nos pontos acima nomeados e clique dentro do  polígono com a ferramenta 0,2 e encontrará o valor da área do hexágono. 6ª Com segmento de reta 0,2 dê valores aos segmentos. Neste caso encontrará o mesmo valor do raio. 7ª Com a ferramenta segmento de reta ligue o centro aos pontos E , F . Neste caso valor do  apótema encontrado será o mesmo valor da altura do triângulo equilátero formado pelos EÔF  e também a sua altura. 8ª Ocultar todos os  linhas auxiliares para a construção do hexágonos a vista o círculo o raio os segmentos de retas, o apótema. •Construção do Apótema do hexágono. •Construção dos Mosaicos nos hexágonos.

9. Definição de papéis: • O educador desenvolverá o papel de tutor perante os seus educandos instigando-os a pesquisa. Tornando-os  construtores de seus próprios conhecimentos.

10. Sites e bibliografia de apoio: •SILVA, Lenir Morgado da, SEYSSEL, Eliane ;SIMÕES , Luiz Fábio, Série da Solução Matemática –Projeto Educação para o século XXI, ed. Escala Educacional. •http://www.uff.br/sintoniamatematica/matematicaenatureza/matematicaenatureza-html/audio-abelhas-br.html acessado em 18/10/12 http://cienciastododia.blogspot.com.br/2008/07/abelhas-sabem-matemtica.html acessado em 19/10/12 http://www.slideboom.com/presentations/382075/GEOMETRIA-DOS-MOSAICOS-acessado em 19/10/12 •http://www.slideboom.com/presentations/382075/GEOMETRIA-DOS-MOSAICOS  acessado em 19/10/12

11. Coleta de dados: Pesquisa no site www.google.com.br  referente a hexágonos e suas construções, pesquisa  em livros.

12 .Seleção de Material. Data show, computador, som, quadro branco, canetas coloridas , material digitado.

13. Programação visual: •Laboratório de Informática já baixado o R e C programado em rede. •Sala de Vídeo  postando os vídeos e os slides sobre assunto.

14. Meios para a execução: •Tutoriais do  R e C – para construção dos hexágonos. • Montagem de Mosaicos hexagonais interagindo com o(a) professor(a) de Artes.

15. Avaliação: Maquete confecção de uma colmeia com pesquisa sobre os tipos de méis.

16. Cronograma: 1ªEtapa - 50minutos 2ªEtapa - 100minutos 3ªEtapa - 100 minutos 4ªEtapa - 100 minutos 5ªEtapa - 100 minutos